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数学证明的边界扩张

    最近看着证明与反驳这本书, 虽然不是什么数学著作, 讨论的也不是改变世界的重要定理, 不过围绕着多面体面棱角个数关系的那个欧拉定理讲得风生水起, 还是挺有意思的.
    书里提到数学研究的一个策略, 对于一个已经证明的定理, 通过想方设法扩张其证明步骤中的条件「边界」, 也许可以把定理从一个特殊形式扩展到普遍形式. 就像写程序库一样, 总希望写出来的东西能尽可能满足各种不同参数下的需求, 虽然在软件行业这么干往往会把自己玩死...
    比如看看费马平方和定理第四步的结论 (请一定看完前四步证明, 后文的内容均是修改此证明)
  • 对于互素的任意整数 a 和 b, a2 + b2 的每一个因子也都能表示为两个整数的平方和的形式
    这一步虽然内容上有不少平方和, 不过还不是平方和定理实际内容, 只是一步中间引理. 然而即使如此证明看起来也挺费神的.
    要扩展这个定理的话, 可以从多个不同角度出发, 对于两个整数平方和成立, 对于三个整数平方和是否成立; 或者, 本文将采取的方式如下
  • 给定正整数 v, u, 对于互素的任意整数 a 和 b, v * a2 + u * b2 的每一个因子也都能表示为 v * p2 + u * q2 的形式
    然后试着往原来的证明过程中套, 看看会发生什么.

    第一步用到了名字巨长的恒等式, 这个等式说两个平方和的乘积还是一个平方和, 在代数学中有个术语叫封闭性. 比如整数集里面任取两个元素出来进行加减乘运算, 结果还是整数 (除就不一定了), 那么加减乘这三种运算 (三个二元函数) 对于整数集就是封闭的. 类似的, 上述恒等式说明在所有能表示成两个整数平方和的数的集合内, 乘法是封闭的.
    那么这个结论能否运用到形如 v * a2 + u * b2 的整数呢? 很快就能验证
(v * a2 + u * b2) * (v * c2 + u * d2)
  = v2 * (ac)2 + vu * ((ad)2 + (bc)2) + u2 * (bd)2
  = v2 * (ac)2 + u2 * (bd)2 + 2 * uv * abcd
    + vu * ((ad)2 + (bc)2- 2 * uv * abcd
  = (vac + ubd)2 + vu(ad - bc)2
    并不是 (v * p2 + u * q2) 而是 (p2 + vu * q2) 的形式. 真糟糕, 第一步封闭性就阵亡了. 那么今天的内容就到这里, 谢谢大家观看, 我们下期节目再见...
    噢等等, 我觉得这个扩张还可以抢救一下, 只要作出一点小牺牲, 把内容收缩一点就好: 令 v, u 之一等于 1, 也就是说变成比如

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